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京都大学 前期 1992年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1992年 第5問 (解答解説)

📝 問題

空間内で平面上の放物線を軸のまわりに回転して得られる曲面に4点

ただし

で，それぞれ接する4つの平面を考える．

  1. この4つの接平面と平面で囲まれる立体の体積を求めよ．

  2. の最小値と，そのときのの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

4枚の接平面と $xy$ 平面で囲まれる四角錐と放物面

図 1: 4枚の接平面と 平面で囲まれる四角錐と放物面

(1)

題意の曲面は

だから，各接平面の接線ベクトルは順に

である．従って各点での接平面の方程式は，

となる．これらの接平面と軸との交線は

である．一方でこれらの接平面はで全て交わる． 従って4接平面と平面で囲まれる立体は底面が一辺 の正方形，高さ の四角錐で，体積は

である．

(2)

より(式8)で となる．そこで(式8)の両辺両辺自然対数をとって

だから，両辺で微分して

を得る．から増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

従っては の時 をとる．

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