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京都大学 前期 1992年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1992年 第6問 (解答解説)

📝 問題

，，は正の整数でを満たしている． について，，，を次式できめる．

  1. を数学的帰納法により証明せよ．

  2. およびを示せ．

  3. となったときのについて，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた数列

について考える．

(1)

題意を数学的帰納法で示す． では成立しているので，での成立を仮定する． を(式1)を使って変形すると

仮定

よりでも成立する．以上から示された．

(2)

まず を帰納的に示す．では(式1)より成立するので，での成立を仮定する．について

両辺以上

だが，仮定より最後の不等式は成立するので，でも成立する． 以上からである．

次に の大小について

両辺以上

であり，最後の不等式は成立するから である．

(3)

(式10)から

だから，の時は

である．従ってのいずれかがである．

の時

(式1)及び(1)から，

である．を消去して

である．とすると より で(式12)に反して矛盾する．よって で以上から

である．

の時

の対称性及びから

である．

以上から

である．

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