京都大学 前期 1991年 第6問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた方程式

の両辺を で微分し， を代入して

である．

次に(式1)に を代入して

である．右辺の被積分関数は で正だからこれが成り立つのは の時である()．

(2)-(イ)

(式2)から

である． とおくと

であって，一階微分は

となるから，の増減表は以下のようになる．

	0
	0

従って(式4)において の時

だから とおけば () なる が存在する．

(2)-(ロ)

(式4)から

となる．この右辺は において を に置きかえたものだから，(イ)より の時

となる． よって とおけば， なる が存在する．

(3)

(2)(イ) の不等式の両辺をで積分して

である． からはさみうちの定理を用いて

を得る．

そこで(式4)より求める極限値は

である．

次にの最小値を求める．(式4)よりの挙動がわかればの挙動がわかるのでこれを調べる．(イ)からだから は単調増加である．これと から， である． これと に注意して，(イ)の増減表から以下の二つの場合が考えられる．

以上(式15),(式16)をまとめて求める最小値は

である．

【別解】

(3)

(ロ)を直接使っても良い．(ロ)の両辺で割って

だから，でであることから挟み撃ちの定理から

である．