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京都大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1991年 第4問 (解答解説)

📝 問題

実数， に対し 次の不等式の成り立つことを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

以下

で不等式

について考える．

$\tan x$ の下に凸性と $\log(\tan x)$ の上に凸性による不等式の関係

図 1: の下に凸性と の上に凸性による不等式の関係

補題1

において， は下に凸である．

証明

, から示された．

□
補題2

において は上に凸である．

証明

, から示された．

□

[補題1]から凸不等式より(式2)の右側の不等号は示された．

次に左側についてはの値で場合分けして考える．

の時

両辺 をとることができて，

だから，[補題2]および凸不等式から示される．

の時

から明らかに成立する．

以上より(式2)の左側の不等号も示された．

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