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京都大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1991年 第1問 (解答解説)

📝 問題

軸上の点 と定点に対し，を直径とする円をとする． 点 を，の中点=「と直線の交点」となるようにとる．

  1. ，を求めよ．

  2. が軸上の負の部分のすべてを動くとき，対応する全体はどのような曲線になるか． また直線はこの曲線の，点での，接線となっていることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

円 $C$ と直線 $PQ$ の位置関係

図 1: 円 と直線 の位置関係

とを直径とする円の方程式は

である．よってこれと の交点の 座標は である． の中点がこの交点になる時，の座標が正だから，交点はの方である．この時

である．

(2)

(式2)の第一式の両辺二乗して

から

だから(式2)の第二式に代入して

より，求める軌跡は

である．

$Q$ の軌跡 $y=\dfrac{1}{4}x^2+1$ と接線 $PQ$（$p=1$ の場合）

図 2: の軌跡 と接線 （ の場合）

さて，次に でのこの曲線の接線は

である．一方で直線の方程式は

であり，(式6)と一致するから題意は示された．

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