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京都大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1991年 第5問 (解答解説)

📝 問題

袋の中に個の白玉と3個の赤玉がある． 「袋の中の個の玉から無作為に1個を取り出し，つぎに(外部にある)白玉を1個袋に入れる」という試行をくり返す． 回目の試行で赤玉をとり出す確率をとする． また回目の試行を行なう前，袋の中に赤玉が個あり， かつ回目の試行で赤玉をとり出す確率を とする． 従ってである．

  1. ，，を，，で表す式(漸化式)を求めよ．

  2. をで表す式を求め，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

1回の試行における球の取り出しと補充の概要

図 1: 1回の試行における球の取り出しと補充の概要

回目の試行前に袋に赤玉が 個入っており，かつ試行で白い球を取り出した（試行後も袋に赤玉が個入っている）確率を とおく．

(1)

$n$ 回目から $n+1$ 回目への赤玉個数の状態遷移図

図 2: 回目から 回目への赤玉個数の状態遷移図

回目の試行前に赤玉が個あるのは，回目の試行前に個の赤玉があって一つ赤玉を取り出した場合か，回目の試行前に個の赤玉があって白玉を取り出した場合だから，

と書ける．

また，とについて，回目の試行前には個の白玉と個の赤玉があるから，どちらの球を取り出すかの確率を考えて

なる関係がある．(式2)を(式1)に代入して求める漸化式は

である．

(2)

だから(式3)を辺々足し合わせて

である．また初期条件はの時，個の中から個の赤玉のどれかを引く確率だからである． よって(式4)と等比数列の公式から

である．

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