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京都大学 前期 1990年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1990年 第5問 (解答解説)

📝 問題

正角形の頂点にと時計まわりに番号がつけてある． 頂点0を出発点とし，サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し，着いた頂点の番号をとする． 次にもう1度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点から時計まわりに移動し，着いた頂点の番号をとする． このようにして定めた確率変数，について

  1. のそれぞれの場合について，とは互いに独立か．

  2. ，が互いに独立となる をすべて求めよ．

ただし確率変数，が互いに独立であるとは，となる確率 と かつとなる確率 との間に，次の等式(＊)が任意の， について 成り立つことである．

  1. (＊)　
✏️ 解答解説

【解答】

(1)

について確率変数が独立な時に成立する式

が成立するか個別に検討する．

の時

$N=5$ のときの頂点と出目の対応

図 1: のときの頂点と出目の対応

での成立が必要である．となるのは回目ともの目を出した時で

である．一方となるのはの目を出した時で

である．となるのは，回目に出る目の和がまたはの時だから

である．以上から は不成立では独立ではない．

の時

$N=6$ のときの頂点と出目の対応

図 2: のときの頂点と出目の対応

確率変数に対してであり，また任意のについてとなるのは常に一通りだから

である．よって任意のに対し が成立するので，とは独立である．

(2)

について(1)で調べたので，残りのについて個別に検討する．

の時

であり (1)と同じく， だから，は独立である．

の時

での成立が必要である． からは非独立である．

の時

この時は2周まわって6にいくことはないので，1回目に出た目を，2回目をとすると，となるのは の5通りである．従って

であり，また だから

となり，とは独立ではない．

以上から，が独立なのは

の時である．

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