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京都大学 前期 1990年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1990年 第2問 (解答解説)

📝 問題

三角形において，，の対辺の長さは整数，他の2辺の長さ，はいずれも素数である． このとき三角形は正三角形であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

$\angle ABC=60^\circ$ と辺 $a,b,c$ の位置関係

図 1: と辺 の位置関係

に余弦定理を用いて

である．対称性からの時のみ考えれば良い． するととは素数であることに注意して

である．

の時

この時

となり は正三角形である．

の時

この時

より

となるが が素数ゆえである．よって左辺は正となりこれを満たすは存在せず不適である．

以上からは正三角形である．

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