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京都大学 前期 1990年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1990年 第6問 (解答解説)

📝 問題

円を内部に含む楕円 がある． 上の1点からに1つの接線をひき，その延長が再びと交わる点をとする． からにとは異なる接線をひき，その延長が再びと交わる点をとする． からにと異なる接線をひき，その延長が再びと交わる点をとすると，となった． このときをの関数として表わせ．

✏️ 解答解説

【解答】

楕円と単位円に外接する三角形 $PQR$

図 1: 楕円と単位円に外接する三角形

題意からである． 図形の軸に関する対称性から，は軸に関して対称な点にある．さらにこの時，軸となることから，との接点はである．（は明らかに不適である．）

従って，の座標はで，対称性から

とおける．以下 がに接する条件をもとめる．この時対称性からもと接する．

ここでと円の接点をとおいての面積を2通りで表すと

である．両辺は正であるから2乗して

となる．

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