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京都大学 前期 1989年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1989年 第6問 (解答解説)

📝 問題

高さ10mの円錐形の内部をもつタンクがあり，円錐の底面が下側にあって水平であるように置かれている．

タンク内の水位(水の深さ)がmのときには分の速度で注水することにする．

タンクが空のときに注水を始めて，9時間後に水位が2mになった．タンクに水が一杯になるのは，あと何時間後か．

✏️ 解答解説

【解答】

底面を下にした円錐形タンクと中心軸縦断面

図 1: 底面を下にした円錐形タンクと中心軸縦断面

高さ の時の表面の面積 ，円錐の半径を とすると題意より

である．ここでは半径の円の面積だから

である．(式2)を(式1)に代入して

だから両辺積分して

積分定数

で から が従う．タンクがいっぱいになる時刻分とすると， 題意より を各々代入して

を得る．辺々わって

だから，タンクがいっぱいになるのは，あと

後である．

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