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京都大学 前期 1988年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1988年 第6問 (解答解説)

📝 問題

単位をcmとする． ，で表される曲線を 軸のまわりに回転させて作った曲面を側面にもつような，底の平らな容器がある． ただし，上面の半径は1cm，底面の半径は5cmである．

  1. この容器に深さ6cmまで水を入れたときの水の体積を求めよ．

  2. この容器に毎秒の割合で水を入れるとき，深さ3cmのときの水面の上昇速度を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

回転させる曲線 $y=10/x-2$

図 1: 回転させる曲線

以下対称性からの場合のみ考える． 題意からのグラフは上のようになる． 題意の条件からこの曲線がを通るから

である．そこで以下

とおく．

(1)

$y$ 軸のまわりの回転体と高さ $h$ の水面

図 2: 軸のまわりの回転体と高さ の水面

高さ () の時の水の体積とおくと これは一定での切断面（円）の面積を積分したもので，

だからとして

である．

(2)

をもとめれば良い． 題意から であって， とおくと(式5)の両辺をで微分して

だからとして，

である．

【別解】

(2)

高さ $h$ における切断面（円）の面積 $S$

図 3: 高さ における切断面（円）の面積

解答の(式5)では一回積分した後，それを微分しているので二度手間である． そこで直接微分係数を求めることもできる． 時刻での表面積，高さとすると題意より

である．第二式を第一式に代入して

だからとして

である．

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