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京都大学 前期 1988年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1988年 第4問 (解答解説)

📝 問題

各辺の長さが2の正四面体を座標空間内で考える． 辺は軸上にあって，その中点は原点と一致し，辺の中点は軸の正の部分にあるとする． また，をみたす実数について，線分をの比に内分する点を通り，に垂直な平面をとする．

  1. 2頂点，の座標を求めよ．ただし，の座標は正であるとする．

  2. 平面による正四面体の切口は，どのような平面図形か．

  3. 平面で分けられた正四面体の2つの部分のうち，原点に近い部分の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

正四面体 $ABCD$ と辺 $CD$ の中点 $M$（$\triangle AMB$ は破線）

図 1: 正四面体 と辺 の中点 （ は破線）

題意よりである． とすると四面体ABCDは一辺2の正四面体となり題意をみたす．このときである．

(2)

正四面体 $ABCD$ と水平な切り口

図 2: 正四面体 と水平な切り口

線分をに内分する点を通りに垂直な平面は

である．で四面体を切断することを考える．切り口はとの交点をつないだ長方形になる．そこで以下この長方形の辺の長さを求める．

相似比から切り口の半幅 $1-t$ と $t$ を求める

図 3: 相似比から切り口の半幅 と を求める

まずにおいてとの交点をとすると， の相似から

である．

同様ににおいてとの交点をとすると， の相似から

である．

以上(式2),(式3)から切り口は下図のような辺の長さをとする長方形になる．

高さ $z=t\sqrt{2}$ における長方形の切り口

図 4: 高さ における長方形の切り口

(3)

(2)と同じくしてにおける切り口の面積は一辺の長方形の面積で，

だから，求める体積は

である．

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