京都大学 前期 1987年 第4問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた関数

について考える．一階微分は

である．3次関数では接点と接線が一対一対応するので，となるの数を求めれば良い．よって の判別式として求める個数は

である．

(2)

の座標を とおく (としてよい)とこれらは(1)より

の異なる二つの実数解である．

，の座標とすると題意より

である．は3次，は1次だから2次の係数を比較して

である．一方で(式4)で解と係数の関係より

だから，(式6)を辺々たして(式7)を代入すると

を得る． 従っての座標の差と のそれが等しく，さらにの傾きも等しいので， である．\quad

【別解】

の中点とすると

(式4)において解と係数の関係から

だから

および

より，は曲線上の点である．次にが原点になるようにを平行移動すると

であり，これは奇関数だから原点対称である．よってに関する対称性によりをに重ねあわせることができるからである． \quad