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京都大学 前期 1987年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1987年 第3問 (解答解説)

📝 問題

不等式がすべての実数について成り立つような点の範囲を図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた不等式

について，倍角公式より

とかける．そこでとなる条件を調べる．の大きさでの挙動が変わるため場合分けして考える．

の時

この時は(式3)より

でこれは高々次式だから，でとなる条件は両端点でであることで，

である．

の時

この場合はは下に凸の放物線だから，での最大値は端点でとる． 従ってを満たすには端点でならばよく，

である．

の時

$a<0$ における軸 $x=-\dfrac{b}{4a}$ の位置と放物線 $y=f(x)$ の挙動（3通り）

図 1: における軸 の位置と放物線 の挙動（3通り）

この場合はは上に凸の放物線だから，軸と端点の位置関係によって条件は

の時の時の時の時の時の時

である．

以上(式5),(式6),(式8)をまとめて

である．これを図示して下図(境界含まず)である．

条件を満たす点 $(a,b)$ の領域（境界は含まない）

図 2: 条件を満たす点 の領域（境界は含まない）

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