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京都大学 前期 1987年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1987年 第5問 (解答解説)

📝 問題

空間において，平面(は定数)を考える．

  1. この平面上の点のうち原点に一番近いものの座標を求めよ．

  2. 原点を中心とする半径3の球体がこの平面で分けられる二つの部分のうち，体積の大きくない方の体積をとする． をいろいろ変えたとき，が最小になると，そのときのの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた平面

とする．の法線ベクトルの1つにがある．題意の点とすると だから，として

とかける．これが上の点だから，(式2)に代入して

である．従って(式2)より点の座標は

である．

(2)

球 $x^2+y^2+z^2 \le 9$ と平面 $T$ による切断および球欠 $V(a)$

図 1: 球 と平面 による切断および球欠

平面と点の距離公式から

である．まず の値域をもとめる． で微分すると

から増減表は以下のようになる．

1

表 1: の増減表

したがってとあわせてである．

$OP$ を含む平面で切断した断面図と球欠 $V(a)$（斜線部を $X$ 軸周りに回転）

図 2: を含む平面で切断した断面図と球欠 （斜線部を 軸周りに回転）

は上図の斜線部の領域を軸周りに回転した部分の体積だから，が最大の時に最小である．従って求める最小値はの時，

である．

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