京都大学前期 1988年第1問 (解答解説)

【解答】

与えられた関数

について考える．

(1)

を計算すると

より，これはで割り切れる．よって題意は示された．

(2)

の時（）(1)から

である．第一式をみたすがある条件は判別式として

である．この元で(式4)においてのいずれかの解がを満たせば良い．以下がか否かで場合分けする．

の時

この時はが二つの異なる実数解を持つ．これがに一致しなければかつを満たすがある．このような条件はとなることで，係数比較して

である．前者が常にみたされるからの時は常に(式4)を満たすが存在する．

の時

(式4)は重解を持つから，これがとなれば良い．代入して

これはについての恒等式だからの時は常にとなってしまい不適である．

以上から求める条件はつまり(式5)で，図示して下図斜線部（境界含まず）である．

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【解答】