【解答】
図 1: 外円・内円と半径 の円の配置，および接線で作る直角三角形
まずより内側の円の半径が，外側の円の半径がである．
内側の円の半径が以上だから
である．
(1)
半径のドーナツ状の領域に半径の円を入れていく時，上図のように半径の円を順にとし，その中心をとする．から始めてがお互い接するように配置するのがもっとも効率が良いため以下この場合を考える．とは接する必要はないが，お互い重なる場合は不適である．
上図のように，からに引いた接線の接点をとし，とおくと，
である．円が個あることから全ての円が見込む角度が以下でないとならず，
である．
から であり で が単調増加することから，(式2),(式3)より
である．これは(式1)を満たして十分である．
(2)
個の円の面積の総和とおくと
だから，両辺で微分して
である．よっては唯一の零点をに持つ．
これと(式5)の上端を比較する．
とおくと，でだから第二項を評価して
だから，となり，常にの零点は(式5)の区間内にある．
従っての増減表は以下のようになる．
表 1: の増減表
よってを最小にするは
である．
【解説】
零点については，以下のように愚直に微分してもすぐ計算できる．
とおいて
を示せば良い．
より
とおくと
より は単調減少である．これと から なので示された．
