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京都大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1991年 第3問 (解答解説)

📝 問題

3組の対辺が互いに垂直であるような4面体がある． このとき，の各辺の中点は，の重心を中心とするある1つの球面上にあることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

四面体 $OABC$ の辺の中点と重心 $G$

図 1: 四面体 の辺の中点と重心

4頂点を とし，点 に対し とすると は一次独立である． 題意から対辺が垂直なので，これらのベクトルの内積がで，

である．従って

とおける．

点に対して の中点を とする． また四面体 の重心 ， の中点 として

である． そこで とおけば，(式2)から

となり，たしかにこれらが を中心とする同一球面上にあることが示された

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