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京都大学 前期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1994年 第3問 (解答解説)

📝 問題

正4面体の4つの頂点を，，，とする． ，を，を満たす実数とし，

  1. 線分をに内分する点を，

  2. 線分をに内分する点を，

  3. 線分をに内分する点を

とおく． 3点，，を通る平面が，3点，，を通る円と共有点を持つために，の満たすべき条件を求め， 点の範囲を平面上に図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

正四面体 $ABCD$ と平面 $EFG$ の $xy$ 平面との交わり

図 1: 正四面体 と平面 の 平面との交わり

正四面体の一辺の長さを1として良い．座標空間において，

とおける．すると を通る円は である．

正四面体の $xz$ 平面での切断面と各部の長さ

図 2: 正四面体の 平面での切断面と各部の長さ

平面で立体を切断すると上図のようになる． 線分の中点をとし，と平面の交点を，と軸の交点をとすると，メネラウスの定理から

である．を代入して

である．

$xy$ 平面での断面（$\triangle BCD$ と外接円，交線）

図 3: 平面での断面（ と外接円，交線）

さて， が題意の円の内側にあれば平面と題意の円は交点を持つ．この条件は

式

である．これと を図示して，下図（境界は のみ含む）である．

$0<s,t<1$ における許容範囲．曲線上を含み，外枠は含まない

図 4: における許容範囲．曲線上を含み，外枠は含まない

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