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京都大学 前期 1995年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1995年 第6問 (解答解説)

📝 問題

深さの容器がある． 底は半径 の円板，側面は，のグラフを軸のまわりに回転したものである． ただしは正の連続関数でとする． この容器に単位時間当り(一定)の割合で水を入れたとき，時間後に一杯になり， しかも 時間後の水面の面積はであった．

関数を決定し，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

底面半径 $a$，高さ $h$ の容器と時刻 $t$ の水深 $h'$

図 1: 底面半径 ，高さ の容器と時刻 の水深

時刻 での水深 ，水表面積 とおくと題意より

である．

(式1)の第二式とから

である．

一方で(式1)の第二式を第一式に代入してを消去すると

だから積分して を定数とすると

である．題意より で だから なので代入して

である．これを(式2)に代入すると求める関数は

である．

またについては で だから(式6)に代入して

である．

【解説】

この時(式1)を満たすかを軽く計算するのは良い検算になる．

を(式1)に代入すると

だから合っていそうだ．

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