京都大学 前期 1996年 第4問 (解答解説)

【解答】

与えられた数列

について考える．

(2)

題意の不等式

を数学的帰納法によって示す．

まずの時は， より成立する． そこで以下での成立を仮定する．は単調増加だから，に対して

である．

次に，

であり，の偶奇で場合分けすると

となる．よって

となる．

以上からでも(式3)は成立し，数学的帰納法により任意のに対して(式3)が成立する．

(3)

ならに対してであることをについての数学的帰納法で証明する． の時は成立するので以下での成立を仮定しての時を考えると，

からでも成立する．よって題意の前半は示された．

そこで以下この時のの値を求める．(2)およびから

である．よって鳩の巣原理から となるがある． この時(式1)

である．についての偶奇で場合分けする．

以上まとめて，

である．