京都大学 後期 1992年 第6問 (解答解説)

【解答】

A, B, C, D

(1)

題意を示すには，であることと，であることを示せば良い． 各辺をなすベクトルは

となる．

まず辺の長さについて，

であり，

を代入すると

である．ついで

だから，

となる．

次に角度については，ベクトルの内積がになれば良い． (式15)を利用すると，

より，確かに内積はであり，

である．

以上から，は一辺の長さの正方形である．(答)

(2)

点OとDは平面上にあり，点AとBは平面を挟んで両側に存在する． そこで，辺ABと平面の交点を求める． 辺ABの方程式は

だから，を代入して，交点を表すは

である．従ってこの交点をEとすると，EはABを

に内分する点であり，(1)よりだから

である．この様子を図1に示す．

題意の は各々 , を底面とし， 高さは同じ立体だから体積比は底面積比に等しく， 求める体積の比は

である．(答)

【解説】