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京都大学 後期 1992年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1992年 第1問 (解答解説)

📝 問題

でないの整式に対し，，とおく．ある定数，が存在して，が成立しているとする．

  1. とおくとき，をを用いてあらわせ．

  2. さらにでのの最大値がであるとき，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

まずはの次数を求める． 題意の条件より

だから，の次数はである．

与えられた条件

の両辺をxで微分して

だから，(式1)を代入して

となる．は恒等的にではないから，

を満たす．は次式，は次式であるから，この恒等式が成立するには，

が必要．つまり，は一次式で

とおけて，積分することで

を得る．

一方題意より

だから，(式6)に(式9),(式11)を代入して

となる．は定数項がないから，この式が恒等的に成立するには係数比較して

である．

次にとの関係は

である．

(式14),(式16)からを消去して

となるから，(式9)より

である．

逆にこの時，(式2)に代入して

となり，

とすれば良いから十分である． 以上から，求めるは

である． (答)

(2)

を平方完成すると

だから，の最大値は

の時，の時，の時，の時，の時，の時，

だから．これらがに一致するのは，の時のみで， この時(式20)に代入して求めるは

である．(答)

【解説】

(1)については，最初からを用いて式変形をして行っても求まる．

だから，(式2)に代入すると

であり，をと置き換えて

となる．よってより

となり，

だから

である．

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