京都大学 後期 1992年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意の立方体は図1である．

題意の場合の数は展開図ADRQ(図2)において，AからRへ行く最短経路に等しい．

全体の移動回数は回であり，そのうちどのタイミングでAD方向に動くかを決めれば良いので， 求める場合の数は

通りである． (答)

(2)

どの辺を通ってへ辿り着くかで場合分けする． 頂点を通る場合は重複があるため，最後にそのような場合の数を差し引くこととする． まず，辺に関する場合わけは，以下の六通りである．

1. 辺PQを通ってRへ行く事象:

2. 辺QBを通ってRへ行く事象:

3. 辺BCを通ってRへ行く事象:

4. 辺CDを通ってRへ行く事象:

5. 辺DSを通ってRへ行く事象:

6. 辺SPを通ってRへ行く事象:

従って，求める場合の数は

である．(1)と対称性から，

である．

次に，二つの事象を同時に満たす（頂点を通る）ような場合の数を考える． 対称性から，AからQを経由してRへ辿り着くルートを考えると，AからQへ行くのに通り，QからRへは辺を通っていく一通りだから， 結局場合の数は通りである．従って

である．このようなケースはAとR以外の頂点の数の分，六通りある．

三つ以上の事象を同時に満たすような場合は存在しないので， 以上(式2),(式3),(式3),(式4)から 求める場合の数は

である． (答)

【解説】