京都大学 後期 1991年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

四面体の頂点をP，Q，R，Sとする． 各辺の中点を図のようにA，B，C，D，E，Fとする．

正八面体の高さHは四面体の高さのであるから，四面体の高さを求めよう． 四面体の底面QRSの重心Gとすると，四面体の高さは線分PGの長さに等しいから

である．

四面体の底面QRSは正三角形であるから，QGの長さは（図2）

である．

にピタゴラスの定理を用いて

でる． これを(式1)に代入して，求めるHの高さは

である．(答)

(2)

水面の高さの時の水面積とすると，題意の条件より

が成り立つ．

また，底面からの高さにおける正八角体Hの切り口は図4のような六角形である．

ここで，六角形の外側の正三角形の一辺の長さは，一辺の正三角形QRSとの相似比が

だから，(式6)を代入して

となり，

である．

切り取る部分の正三角形の一辺の長さは，一辺の正三角形DFSとの相似比が

だから，(式6)を代入して

となり，

である．

従って，この面積は一辺の正三角形の面積から，3つの一辺の正三角形の面積を引いたものに等しい．

だから，微分方程式(式8)に代入して整理すると，

となる．両辺積分すると，積分定数として

である．初期条件はでだから積分定数はであり， 高さがになるまでに要する時間は

である．(答)

【解説】