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京都大学 後期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1991年 第3問 (解答解説)

📝 問題

空間に原点を始点とする長さのベクトル，，がある． ，のなす角を，，のなす角を，，のなす角をとするとき，次の関係の成立することを示せ． またここで等号の成立するのはどのような場合か．

✏️ 解答解説

【解答】

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の様子

図 1: の様子

対称性から，を

と固定して考えて良い． 次にを平面においてもよく， 題意の条件より，

とおける．残りのを一般性を保って

とおく．

題意の残りの条件，, に これらの座標を代入して

となる．従って，

とおくと，

と計算できる．(式10)より

となり，題意の不等式は示された．(答)

次に等号成立条件について考える． まず左側の等号が成立するのは，の形から

の時だが， となることはないから， が全ての時に等号が成立する． この時， である．(答)

最後に右側の等号が成立するのは，

の時で，この時 は同平面上にある．(答)

【解説】

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