京都大学 後期 1991年 第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

は 個の自然数から二つを取り出す 通り全てについての和である． この時各数字は 回出るので

が求める期待値である． (答)

(2)

となる場合の数は，以下の自然数からを選ぶ通りである． 全体の場合の数は(1)より通りだから，は

と求まる．(答)

(3)

先に をえらんでも えらんでも良いので，これらは対称である． 従って，の期待値との期待値は等しい． そこでについて考える． 期待値の和の公式より

であるから，(1)と(2)を代入して

である．(答)

【解説】

(2)を先に出してもよい．その場合は以下のように求まる． なる確率と， なる確率は明らかに等しいから，

である．

類題として，からの個の自然数から，個をえらぶことを考える． 小さい方から 番目の期待値は

で与えられる．

についての証明は容易である．の方は，本解説と同様に

となる． 対称性から となることに注意して

となる．以上からでは示された．