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京都大学 後期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1991年 第1問 (解答解説)

📝 問題

で定義された関数は次の1,2を満たしている．

  1. 1　

  2. 2　

  1. をの関数として表し，のグラフの概形をかけ．

  2. のグラフと軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

条件1でとおくと，

である．(答)

次に，グラフは軸対称なので，複号正の部分を考えてに折り返せば良い． (式1)の複号正を両辺をで微分すると

だから，の区間では単調減少である． 端点での値は

だから，グラフは図1のようになる．(答)

曲線$y=f(x)$の様子

図 1: 曲線の様子

(2)

題意の面積 は図2の斜線部の面積 として，対称性より

で与えられる．

曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分

図 2: 曲線と軸で囲まれた部分

は軸方向の積分とみなすことで，

だから(式6)に代入して

が求める面積である．(答)

【解説】

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