京都大学 後期 1990年 第1問 (解答解説)

【解答】

とおくと，は偶関数で，曲線

の様子は図1である．

だから， における接線は

である．これが を通る時

である．グラフより，はでのみ二重接線を持つから， 題意の条件は，四次方程式が

に四つの異なる実数解を持つことと同値である． そこで以下この条件を調べる． まず，(式7)より

である．

次に，の増減表を書くことで，の解の個数を考察する． まずの一階微分は

だから，によって以下のような増減表を得る．

4. の時 \text{は単調増加関数となり不適}

よって，が四つの異なる実解を持つ条件は

である．の値は

だから，(式9)と合わせて図示すると図2斜線部（, 境界は除く）が求める条件である．(答)

【解説】