京都大学 後期 1989年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意より，互いに素な奇数を用いて

とおける．与式に代入して

以下，, の最大公約数を求める． 数の最大公約数をで表すと，ユークリッドの互除法から

である． が互いに素だから， なので，

となり， はの約数，つまりのいずれかである． ここで，が奇数だから は偶数である． 従って，少なくとも はを因数に持ち，偶数となる． よってはありえず

となる．従って

となり，題意は示された．(答)

(2)

が共に平方数だと仮定して，背理法により証明する． この時，自然数があって

とおける．与式を逆に解いて

だから，(式10)を代入して

となる． の偶奇が一致すること， であることから として， のとりうる値は

のふた通りである．

1. \textsuperscript{\textcircled{1}}　の時

   を(式12)に代入して

   となるが，が奇数だから右辺は偶数であり，が奇数であることに矛盾する．

2. \textsuperscript{\textcircled{2}}　の時

   を(式12)に代入して

   となるが，が奇数だから右辺は偶数であり，が奇数であることに矛盾する．

以上いずれの場合も矛盾するから，背理法によりがともに平方数であることはない．(答)

【解説】