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京都大学 後期 1989年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1989年 第3問 (解答解説)

📝 問題

座標平面において，つぎの条件を満たすと半平面との共通部分の面積の最大値を求めよ．

はであるような二等辺三角形であって，は軸に平行で，の座標はである． また，と軸との交点をとすると，である．

✏️ 解答解説

【解答】

原点Oとおく． Bが第一象限にあるとして一般性を失わない． そこでB とし，BからX軸に下した垂足Mとする． すると，直線ABの方程式は

となり，これと軸の交点であるの座標は

となる．この様子を図1に示す．

三角形ABCの様子

図 1: 三角形ABCの様子

題意の条件より，に注意して

である．

このもとで，Hとの共通部分の面積を求める． は上辺OD，底辺BM，高さOMの台形の面積の2倍であるから，

と計算できる．

以下の最大値を求める． はの増加関数であるから， が最大の時 も最大である． の一階微分は

となり，の増減表は表1となる．

0…2…
0

表 1: の増減表

従って，よってはで最大値をとり，

である．(答)

【解説】

最大の時，である．

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