京都大学 後期 1989年 第2問 (解答解説)

【解答】

立体を 平面で切断すると (に注意) と 対称性より図は図1のようになる．

放物線と円の二接点を，正のパラメータを用いてP,Qとおく． 球の中心を とおくと点Qが接点である条件は， を点Qでの の接線ベクトルとして

となる．

以下，回転体の体積を求める． 求める体積は図の斜線部の領域を軸周りに回転させた立体の体積 に等しい． これは二つの部分に分割して考えることができて

となる．以下を別個に求める．

まずにはバームクーヘン積分法を用いると

である．

次には(式4)から，図のように円のの部分を回転させた体積に等しい．

従って

となる．

以上との表現を(式7)に代入して

が求める面積である．(答)

【解説】

球について時間\underline{に}余裕があれば，が

が不適切ということは言った方がよいかもしれない．すぐ言えるし