京都大学後期 1989年第5問 (解答解説)

【解答】

以下，

のもので考える． A君の得点を，B君の得点をとする． A君の得点がとなる確率は，全体の場合の数通りのうち，一枚が，もう一枚が以下になる場合の数からもとまり，

である．

一方，B君の得点が点となる確率は，全体の場合の数通りのうち，二枚とも以下のカードを引く場合の数から2枚とも以下のカードを引く場合の数を差し引いたもので，

である．この導出からわかるように，B君が点以下をとる確率は

である．

これらは互いに独立であることから，A君が勝つ確率は，A君の得点がB君よりも高いことで，

と計算できる．

ここで和の公式から

だから，(式10)に代入して

である．

次に，B君の勝つ確率Qを考える．勝ち負けはA君が勝つかB君が勝つか引き分けしかないから，引き分けとなる確率Rとして

だから，を求めればが求まる．

同点である確率Rは

であるから，(式13),(式15)より

だから，A君が勝つ確率の方が大きい．(答)

B君の取り方だと，二回目に同じカードを引くことがある分，A君の方が得点が高そうというのが直感的な理解だが，実際に計算してみてもその通りになる，ということである．実際のところとを比較してみると

だから，これはが大きいところで正，すなわちA君の方が大きいをとる確率が高い，ということを表している．このことがわかっていれば，やの和の計算を見通しよく進めることができるだろう．

ちなみに，解答中ではの代わりに引き分けとなる確率の方を計算したが，もちろん直接を計算することもできるので以下計算例を示しておこう．本解答と同様に，まずA君が点以下をとる確率は，

だから，

となる．

ここで和の公式から

だから，これを代入して

と求めることができる．導出を比較するとの計算の方が簡単なため，気づけばこういう時間短縮のテクニックを使っていきたい．