京都大学 後期 1990年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

点Pでのでの接線は

である．

従って，と軸の交点であるの座標は

である．

これらの曲線の様子を図1に示す．

よって線分PQの長さは

であり，曲線APの長さは

であるから，求める量は

となる． 両辺で微分して，に注意すると

が求める量である． (答)

(2)

微分の連鎖律と(1)の結果からに対して

を得る． (答)

次にに対しても同様に

となる． (答)

(3)

(式14)は変数分離型の微分方程式

だから積分できて，積分定数をとすると

である． ここでのとき(式9)から

だから，(式19)に代入すると，

である．

以下，(式19)をについてとく．

である．以下ここからをの関数として表す． 両辺二乗して，

である． ここで(式23)から

なので，(式30)に代入して

を得る．これは(式26)を満たしており十分である．

以上から，求める関数は

である． (答)

【解説】

双曲線関数の問題．

(2)で登場したとは

と書ける．これはまさに双曲線関数の満たす方程式であり，

のように関連しているだろうということがわかる． 実際(3)のの表式も細かい係数の違いはあれどの形になっており，計算があっていそうという検算になる．

(3)の解答では誘導をほぼ無視しての微分方程式のみから解答を導いた． 双曲線関数の知識があれば，とを用いてもう少し綺麗に解けるので見ていこう．

与えられた微分方程式は

の形だから，両辺足し引きして，

である． この形は指数関数型の微分方程式だから，積分して

と書ける．ただしは積分定数である． の時，，，だから，

だから，

と求まる．計算量としてはこちらの方が多少楽だろう．