京都大学 後期 1992年 第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

操作の途中でより大きい玉を一度でも引けばとなる． 一方途中で引いた玉が全て以下ならばだから， となる確率は， 回の試行全てで以下の玉だけを引く確率に等しい． 常に以下の玉を引いている場合， 各回の試行で箱の中の以下の玉の数は個で一定だから， 求める確率は

である．(答)

(2)

の時と，の時で分けて考える． まずの時から検討する．

(1)と同様に考えると，となるのは，

1. A　回の試行全てで以下の玉だけを引く

2. B　回の試行中に一回だけ以上の玉を引く

のどちらかである． (A)は(1)で求めた確率と同じだから，(B)について考える． 回目に以上の玉を引く確率を考えよう． この時箱の中の以下の玉の数は回目までは個， 回目以降は個であり， 回目に引く時の以上の玉の数は個だから，

である． 従って，これをについて和をとれば， 操作中に一回だけ以上のカードを引く確率が求まる．

したがって(1)とあわせて，求める確率は

である．

次にの時，求める確率は初回に任意の玉を引いた後，回目以降全てを引く確率であるから，

となる． これは(式10)でとしたものに一致するから， の全ての場合で(式10)の表現でよく， 求める確率は

である．(答)

【解説】