京都大学 後期 1992年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

まず，をを用いて表し，ついでのとりうる範囲を求める．

が半径で軸に接する条件から，を実数として，

とおける．この方程式が点Pでに接する条件からを決定する． まず，が点Pを通るから

である．

のにおける法線が，円の中心を通るから，

に円の中心を代入して

である．

(式2),(式5)を連立して解いてを求める． (式5)を(式2)に代入してを消去すると

である．

についても同様に考えて， は2次方程式

の2解である．

だから，はそれぞれ

と

と求まる．

次にをを用いて表す．(式11),(式12)から とおくと

だから，のでの値域を求めれば良い． は明かにで単調増加であり，

だから，求める値の範囲は

である．(答)

(2)

(式18)から の時，

だから，のもとで両辺二乗して

であり，これはを満たす．

よってこの時，点Pの座標は

である．(答)

【解説】