京都大学 後期 1993年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

点 に対しその位置ベクトルを で定める． ただし，添え字の点については例外的に などとする． 題意の条件から，のベクトルは

と表せる． 新しく点を

で定めると，

となり，題意の条件から であることより，

となる.

つまり，が求めるべき円の中心であり，

となる．この時円の半径はである． (答)

(2)

(1) と同様に考える．点を

とすると，題意の条件より

である．両辺足し合わせて

であるから，この漸化式を繰り返し用いて，(式5)より

である．

以下，に対しての漸化式を考える． (式13)より

だから，等比数列の公式から

となる．従って，

とおけば，

となるが，題意の条件よりだから，これはによらない一定値となる． 従って，, , , は を中心とする円周上にある．

求めるベクトルは(式21),(式5)より

である．(答)

(3)

のでの極限の位置ベクトルを求めれば良い． (式21)から，

が求める位置ベクトルである．(答)

【解説】