京都大学 後期 1993年 第4問 (解答解説)

【解答】

とおく． に対し となるための条件を求めれば良い． ただし，題意より

である． とすると () から不適． 従って

として考える．

の一階微分は

だから，の解は

なるである．よりこの両辺は正なので自然対数をとって，

の増減表は表1となる．

従って，題意の条件を満たすには ならば良い．

だから，

(式6)を代入して

なる条件を得る．

は について単調増加なので，に注意してを外して

となる．以下この条件を満たすようなを求めるため，

とおくと，となるを求めれば良い． 一階微分は

だから，の増減表は表2となる．

従って，を満たす は のみであり，これは(式2)を満たすから， 求めるは

である． (答)

【解説】

解答ではかなり素直に関数を微分して条件を満たすを求めに行ったが，よりショートカットも可能ある． 題意の条件

が任意ので満たすようなを探せば良い．よりこの両辺は正なのでを底とする対数をとって

となるから，

の増減表を書いてとなる条件を求めにいけば良い．