京都大学 後期 1993年 第1問 (解答解説)

【解答】

条件(1)から考える．分母がでだから，全体として極限が収束するためには

が必要である．は三次の多項式だから，これを満たすためにはがを因数にもち，

と表せる．ただし，は最高次の係数がの二次関数であり

と書ける．

条件(1)に代入して

だから(式3)より

であり，

となる．

次に条件(2)を考える．の一階微分は

であるから，となる条件は

である．

最後に条件(3)を考える． まず，,より，直線は を通る直線で，

と表せる．この時，はを共通の引数にもち，

と分解できる． (式13)からこれはの範囲では常に以下であり， 題意の条件(3)は

と書けるから，

を得る．これは(式13)を満たしている．

従って，(式9)に代入して，求めるは

である． (答)

【解説】

この問題も求めた答えがちゃんと条件を満たしているか検算しやすい． 例えば条件(1)は

となり，求めたがちゃんと条件を満たしていることが確認できる．