京都大学 後期 1993年 第6問 (解答解説)

【解答】

与えられた不等式を通分すると

である．これがで常に成り立つような条件を考える． この分子を とおくと，

であり，これはの二次以下の式である． まず，の時はは一次式となり，(式1)が成り立たないが必ず存在するから，

であることが必要． この元で，(式1)は分母分子ともに二次式であり，さらに分母がを根をもつ． よって(式1)がの全ての実数で成り立つには， 分子の二次係数が正であり，かつ分子が分母の定数倍になっていなければならない．

の一次と零次の係数比較すると

整理すると，

となる． (式6)を か否かで場合分けすると，

1 の時

が求める条件となる．

2 の時

が求める条件となる．

以上から，題意が成立する条件は(式3)と合わせて，

又は

である． (答)

【解説】