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京都大学 後期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1994年 第6問 (解答解説)

📝 問題

を自然数とし，とおく．

  1. をを用いてあらわせ．

  2. すべてのに対して，が成り立つことを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

部分積分法より

だから，求める漸化式は

である．(答)

(2)

まずは下側の不等式から評価する． で だから,

より，同じ区間で積分して である． これに (1) を代入して

であり，ここで

で，よりこれは成立するから，

となり，下側の不等式の成立が示された．

次に上側の評価を考える．漸化式を二回利用して

であり，ここでだから

である．よって上側の不等式は示された．

以上より，上下の不等式が成立することが示された．(答)

【解説】

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