京都大学 後期 1994年 第3問 (解答解説)

【解答】

題意の円の方程式は

である． また，題意の点PとQの座標を，として P Qとおく. すると，直線PQの方程式は

である． この直線PQが円Cの接線である時，直線PQとCの中心の距離がだから， 点と直線の距離公式より

両辺以上だから乗して

だから両辺で割ってよく，

を得る．

次に，点Rの座標をを用いて表す． 線分PQの中点をMとすると，ベクトルMRはベクトルPQと直交して，長さは

を満たすから，ベクトルPQの方向ベクトルがと書けることより

と書ける．従って，題意より点Rの座標がであることから

となる． ここで，題意より点Rが第一象限にあることよりだから

であるが，複号負の時，

となるが，これを満たすは存在しないから， 取りうるのは複号正のみである． 従って(式13)で複号正をとって

となる．逆にこの時，から自動的にも満たされる．

よって，以下(式7)およびのもとで(式18)の満たす関係を調べれば良い． (式18)を逆に解いて

だから，これを(式7)およびに代入して

が求める関係式である．(答)

【解説】