京都大学 後期 1995年 第3問 (解答解説)

【解答】

か否かで場合わけして考える．

まず，の時， は高々1次関数で，その最大値・最小値は端点で取るので の時，

である．ただし，であることを用いた．

一方で， だから

である．

(式2),(式3)から

となっては成立する．

次に とする． は2次関数で，その最大値・最小値は軸ないし端点でとる． 軸はだから，これらの点でのの値は

で，これらの絶対値が2以下ならば題意の条件を満たす．

ここで，より

であるから，

となる．

次に軸での値について，軸が最大または最小となりうるのは軸がの範囲にあるときで

の場合を考えれば良い．この時三角不等式より

となる．

一方で，の条件と三角不等式より

だから，(式9)より

である．

以上(式7),(式17)より，全てのに対して である． よって の場合も示された．

以上で全ての場合が尽くされ，題意は示された．(答)

【解説】

解答では丁寧に場合分けして解いたが，もっとエレガントに条件を駆使して解けるので紹介する． ポイントはうまいことをを利用して表すことである． 三角不等式から

であるが，の範囲で

だから，

となり題意は示された．