【解答】
(1)
の時
図 1: でBが引いた時，勝ちになるパターンはBがを引くこと
図 2: でBが引いた時，勝ちにならないパターンはBがを引くこと．
この時，次にAがBから引くので状況は対称的になる．
まずの時，最初Aはを，Bはを持っている．
最初にBがを引いた場合はBの勝ちである．これは確率である．
一方最初にBがを引いた場合，AとBを入れ替えて最初の状況に戻る．
従って，
が成立する．これを解いて
が求める答えである．(答)
の時
図 3: でBが引いた時，勝ちになるパターンはBがまたはを引くこと
図 4: でBがを引いた時，AとBが入れ替わって最初の状態に戻る．
の時，まずBがを確率でひくと，AとBが入れ替わった状態で最初の状況に戻る．
次にBがかを確率で引くと，Bがカード枚，Aがカード枚になり，次のターンでAがBのカードを引いて，Bの勝ちとなる．
従って，
となる．(答)
(2)
の時, ゲームの進行は下図のようになる.
図 5: 最初にBがを引いた場合，AとBを入れ替えて最初の状況に戻る
図 6: 最初にBが以外を引いた場合，Bは一枚カードを捨てられる．
次のAのターンでも確実にAがカードを捨て，Aが枚，Bが枚のカードを持った状態になる．
すなわち，Bが確率でをひくと，AとBが入れ替わってゲームの開始時点に戻る．
Bが確率で他のカードを引くとBはそのカードを捨てられる．次のターンでAも確実にカードを1枚捨てられ，
その時Aが枚，Bが枚カードを持った状態である．
したがって漸化式は
となる．
まず, 「」を数学的帰納法で示す．
では(1)から成立するので，での成立を仮定すると
(式6)でとして両辺足し算すると
だからでも成立する．
以上から数学的帰納法により，全ての自然数についてであることが示された．
従って，(式6)の一式目からを消去すると
という漸化式を得る．よって題意は示された．(答)
(3)
新しく
とおいて(2)の漸化式に代入すると
である．
初期条件は(1)より
となるから，漸化式を解いて
である．
(式12)より，
となる．これを書き直して
が求める一般項である．(答)
【解説】
