【解答】
（1）
図 1: 三角形PQRの様子
直線 PQ と原点の距離 とおく．
辺 PQの長さがだから，辺 PQが単位円の中を動く時
である．
の範囲で動く．](/Univ_EntranceExam_Math_Collection/images/tikz/ukyoto/kouki/1996/5/fig_2.svg)
図 2: 辺が軸に平行な場合のイメージ図．は(式1)の範囲で動く．
また，点の座標はである．
求める領域は軸を中心に軸対称だから，
辺 PQ が軸に平行な場合を考えて，
その領域を 軸まわりに回転した立体の体積を考えれば良い．
を固定して三角形PQRをこの条件で動かすと，
三角形PQRの動く領域は図3のような底辺，
上辺，高さの台形になる．
の範囲で動く．](/Univ_EntranceExam_Math_Collection/images/tikz/ukyoto/kouki/1996/5/fig_3.svg)
図 3: 辺が軸に平行な場合のイメージ図．は(式1)の範囲で動く．
従って，この立体をで切断した切り口は図4の線分BCである．
この図で正三角形ABCの垂線の長さはだから，
となる．従ってこれは
となり，を動かして平面に図示すると図5のようになる．
図 4: 台形のでの切断面は線分BCである．正三角形ABCの垂線の長さから，BCの長さが求まる．
図 5: での切断面の様子．これをz軸周りに一回転したものが求める図形の断面に等しい．
計算すると，を半径とする円になる．
従ってこれを軸周りに一回転させたものが求める立体のでの切り口である．
境界の曲線(式3)上の点とすると，原点からの距離の二乗は
でこれはの単調増加関数だから，で最大値
をとる．
従って回転した領域は半径の円だから，
この面積として，
だから，求める体積はこれをで積分したもので
が求める体積である．(答)
(2)
から下表を得る
表 1: の増減表
従って V は の時，max をとる．
【解説】
解答ではかなり丁寧にでの断面図を求めたが，
対称性からPQの中点が軸にある場合だけを考えれば良いので，
実践的にはそれで十分だと思われる．
