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京都大学 後期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1996年 第6問 (解答解説)

📝 問題

を以上の整数とする． 円周上の等分点のある点を出発点とし，等分点を一定の方向に次のようにすすむ． 各点でコインを投げ，表が出れば次の点に進み，裏が出れば次の点を飛び越しその次の点にすすむ．

  1. 最初に周回ったとき，出発点を飛び越す確率を求めよ．

  2. は以上の整数とする． 周目までは出発点を飛び越し，周目に初めて出発点を踏む確率をとする． このときを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

について回目に出たコインで場合分けすると

  1. 回目に表で，出発点をとびこすとき，

  2. 回目に裏で，出発点をとびこすとき，

だから，

である．初期条件は

である．以下(式1)を解く．変形して

だから初期条件の元で解いて，に対して

となる．さらに変形すると

だから，に対して

が求める答えである．(答)

(2)

周目までとびこす時，まず回目をとびこす確率はである． 周目以降でとびこす確率は，とびこした後の点が周目の出発点よりつだけ進んだ点であることからである． 又，回目に出発点を踏む確率は排反を考えてである． 以上から，とおいて

が求める極限である．(答)

【解説】

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