京都大学 後期 1996年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

数学的帰納法で示す． まずについて証明する．のとき，

からでは成立する． そこで，次にでの成立を仮定する． を考えると，和積公式より

だから,

とおけばは次式で，でも成立する． ゆえに帰納的にの存在が示された．

次にについて考える．の時は

より，の時は成立する． そこで，次にでの成立を仮定する． を考えると，和積公式より

だから

とおけばは次式で，でも成立する． ゆえに帰納法により示された．(答)

(2)

の両辺をで微分して

ゆえにとすると

がを満たす任意のについて成立する． は多項式だから，従ってこれが恒等式である． ゆえに示された．(答)

(3)

を以上の素数とすると，は奇数であるから

となり，定数項がである．

従って，の次以下の係数が全てで割り切れることと の次以下の係数が全てで割り切れることと同値である． (2)の結果から，

であることと，（1）の漸化式からの係数は全て整数なので の次以下の係数は全てで割り切れる． ゆえに示された． (答)

【解説】