京都大学 後期 1996年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

対称性から が , の交点 を 原点とする半径 の円上にあるとして良い． の長さが異なる場合は，全体の拡大縮小によって同一視できる． また，唯一の例外としてがとの交点である場合があるが，この場合の題意の成立は明らかである．

そこで以下複素平面で考え が実軸と一致し が を 回転したものになるとする． , を表す複素数 , とする()． 題意よりはとすなわち実軸について対称な点なので

を満たす． 同じく題意より，はをすなわちについて対称な点なので， これは偏角を考えるとを回転させたもので，大きさを考えるとと同一なので

である．ただし

とする．

(式1),(式2)から

だから，繰り返し用いて，

となり，題意は示された．(答)

(2)

の偏角を () とおく． は半径の円上にあるから

である． (式2)の両辺をとって，

である．

さて，題意の長さを求めるには，およびがあれば良い． まず，前者はを考えることで，

と計算できる．

後者もを考えることで，

と計算できる．

従って，は

と を用いて表せる．

ここで とおく． の場合を調べれば， () の時には， とおけば元の の場合に帰着するので， この場合を調べれば十分である．この時

が成り立つ．

この条件のもとで引き続き式変形する． 合計個の項を二つづつ整理して

となる．和積の公式を用いて

と評価できる．等号が成立するのはの時である． 従って，求める最大値は

である．(答)

【解説】

(2)の最大値のとき，P，Qの作る図形は正六角形となり，この一周の長さは確かにである．