京都大学 後期 1997年 第3問 (解答解説)

【解答】

点 X の位置ベクトル (O 始点) を と表すと，与式は

である．また，各点が球面上にあるから

である．

(1)

(式1)から

だから，両辺2乗して, (式2)を用いて

となる．

ここで，

だから，(式4)よりこれらは等しく，

となる．よって題意は示された． (答)

（2） AB’CD’が長方形をなすことを示すには， 対角線ACとB’D’の長さが等しく，またその中点で交わることを示せばよい．

まずは対角線の長さACとB’D’を考える． 題意より， である. (式1)に代入して

だから， (1) と同様に両辺二乗して(式2)より

であり，(1)と同様に

となる．従って対角線の長さは等しい．

次に，対角線ACとB’D’の交点がこれらの線分の中点であることを示す． (式12)より

だから，ベクトルの表す点Pは線分AC，B’D’の中点である． 従って点Pがこれらの交点かつ中点になっている．

以上および，AB’CD’が互いに異なる点であることから， 四角形 AB’CD’ は長方形をなす．(答)

【解説】