京都大学 後期 1998年 第3問 (解答解説)

【解答】

の座標を () とおく． 題意の方程式の左辺を

とおく．

題意より， 上に , 上に , 上に があることから は 点 () を通る．

次に， は高々次で，これが円を表すのは， 「 の係数が等しく， の係数が 」\dots(2) の時である．したがってを展開しての係数比較をして

をみたす の存在が必要である． これらは の連立一次方程式だから，解を持つ条件は

が非零であることである． 整理すると

であり， は同時にはでないから

である．また，とが平行ではない直線を表すから

以上より，

であり，(式3)を満たす がただ つ定まる． そこでこれを とおく．

あとはこの値に対してが二次式になること，すなわち一次以下でないことを示す． の 次係数が全て で， が 次方程式だとすると， が同一直線上にあることになり矛盾．

また，直線 上の と異なる点 に対し

となり， は恒等的には でない．

以上からは確かに二次式である．

以上から， とすると は円を表す．(答)

【解説】